O Desenvolvimento da Inteligência Tende para uma Estruturação Lógico-Matemática (2º parte)

(2º parte)

Livro: Piaget para Principiantes.

Editora: SUMUS Editorial

O Desenvolvimento da Inteligência Tende para uma Estruturação Lógico-Matemática (págs. 50 e 51)

(2º parte)

... A matemática hipotético-dedutiva (abstrata) dos matemáticos, portanto, é antecedida: a) de dois anos de atividades sensório-motoras (encaixes, ordenações e correspondências concluídas com a síntese do grupo dos deslocamentos); b) de cinco anos  de construções mentais (função semiótica) de alinhamentos (ordenações),  classificação (arranjos figurais), correspondências e cópia de modelos (concluídas com a síntese das noções de função e de identidade); c) de quatro anos de construção dos chamados “entes” matemáticos gerados pelas noções de seriação, classificação, partição (noções de número e deslocamento, medida, matrizes multiplicativas, quantificações de inclusões e de grandezas e conservações fundamentais).

         Existe, portanto, do ponto de vista pedagógico, uma pré-matemática (de fato, uma lógica elementar) correspondente: a) ao período sensório-motor; b) ao período simbólico; e c) ao período das operações concretas (agrupamentos de seriação, classificação, simetria, substituição, tábua de dupla entrada e árvore genealógica). Só após dominar estes elementos   infra estruturais, pode a matemática hipotético-dedutiva (a matemática é definida como uma ciência hipotético-dedutiva) ser apresentada à criança nas vésperas de sua entrada na adolescência. A chamada matemática intuitiva, de fato consta de longa elaboração operativa de coordenações de atividades e de estruturas elementares (estruturas de rede, de grupo, e estruturas topológicas). Em todos os chamados “entes” matemáticos (número, medida, constância, linhas, contínuo, etc.) estão latentes combinações de três estruturas-mães que são comuns à matemática e à inteligência em geral: a) estruturas algébricas (cujo modelo são os diversos tipos de grupos); b) estruturas de ordem (cujo modelo são as redes, lattices ou malhas) e c) as estruturas topológicas finitas elementares (cujos modelos são as vizinhanças, fronteiras, contínuo, donde surgem as chamadas “intuições geométricas”, isto, tanto no desenvolvimento da criança, como na reconstrução teórica das matemáticas modernas, segundo os Bourbaki).

         Para orientar uma proposta “curricular” destinada ao pré-primário (de dois a onze/doze anos) pode o pedagogo tomar como ponto de referência estas estruturas e suas combinações, de modo que possa ter certeza de que a criança construiu mentalmente (depois de construir sensório-motoramente), a estrutura de que se vai servir a matemática dos tratados elementares destinados às crianças. Ora, depois de dominadas estas       pré-noções matemáticas, a criança está habilitada a enfrentar com êxito os processos hipotéticos dedutivos da matemática, de modo que os processos “pedagógicos” se tornam irrelevantes (o método hipotético-dedutivo já é a “pedagogia” da própria matemática).

         A grande novidade, portanto, em matéria de “didática da matemática”, é a descoberta de que as “noções elementares” da matemática não tem nada de “elementares” precisando de um longo período de construção que vai do nascimento da criança aos onze/doze anos. É mesmo provável que as dificuldades históricas no aprendizado da matemática decorram de se considerarem “intuitivas” noções que demandam longa elaboração operativa. Kantor sugeriu que as noções de “conjunto” deviam ser ensinadas às crianças por serem, geneticamente (reconstrução da arquitetura da matemática) noções elementares (como as noções de correspondência que aprecem muito cedo no desenvolvimento da criança) ...

(Continuará)

O Desenvolvimento da Inteligência Tende para uma Estruturação Lógico-Matemática (parte 1)

Livro: Piaget para Principiantes.

Editora: SUMUS Editorial

O Desenvolvimento da Inteligência Tende para uma Estruturação Lógico-Matemática (págs. 49 e 50)

(1º parte)

Num artigo inserido em L’enseignement des Mathématiques, T. I., Nouvelles Perspectives, Delachaux et Nestlé, 1965, Jean Piaget lembra que as estruturas-mães (Bourbaki) que os matemáticos consideram fundamentais, primitivas e irredutíveis (hoje, os matemáticos encontram “estruturas” ainda mais primitivas, como os morfismos, categorias, e funções, presentes, também, no desenvolvimento das crianças) são também as estruturas básicas que iniciam o desenvolvimento da inteligência das crianças, apresentando-se, nos dois primeiros anos, como atividades ainda sensório-motoras. Deste modo, a matemática pode ser apresentada como a sistematização (no plano hipotético-dedutivo) dos processos operativos usados pela inteligência desde a mais terna idade da criança, podendo-se dizer que, também a matemática, nos seus inícios não é senão a “coordenação das ações” (juntar, separar, incluir, etc.).

         Como a inteligência é, fundamentalmente, um processo combinatório, é evidente que, desde os primeiros momentos desta construção, as estruturas se combinam entre si, sem contudo, perder sua identidade. Só agora os matemáticos estão compreendendo (reorganização) que certas construções matemáticas, aparecidas historicamente, em primeiro lugar, são de fato, muito anteriores, na ordem genética da construção (“o que é primeiro na ordem da construção aparece por último na ordem de análise ou de tomada de consciência”). Assim é que, só recentemente, os matemáticos admitiram que as chamadas “intuições geométricas” (base das geometrias projetivas e euclidianas) não são intuições nem muito menos “entes”, mas resultado de longa e complexa construção a partir de “intuições” topológicas (vizinhança, fechamento, fronteira, etc.). Ora, a topologia, como disciplina matemática, só aparece, historicamente, recentemente.

         Esta descoberta é de importância excepcional para a pedagogia da matemática. Todo o estudo de geometria, projetiva e euclidiana, desta forma, deixa de partir de certas constâncias ou invariâncias tidas como a priori (linha, contínuo, distância, comprimento, correspondência, “intuições geométricas”, etc.) para começar pelas “intuições” topológicas. A construção das chamadas “intuições geométricas” exige um período de cerca de cinco anos no desenvolvimento da criança, precisamente, o período que vai de dois a sete/oito anos, quando se inicia o curso primário. Assim, a “matemática” do pré-primário (para não falar da matemática do sensório-motor) é de fato uma pré-matemática ou uma lógica embrionária, donde a dificuldade de os matemáticos (que acreditam nas “intuições” inclusive na do número: “Deus fez os números inteiros: o resto todo é obra dos homens”, Kronecker) de sugerirem atividades “matemáticas” para este longo e laborioso período do desenvolvimento da criança. Mas, não é só. De sete/oito anos a onze/doze anos, a criança constrói, lentamente, uma série de estruturas (classificação, seriação, substituição, simetria, tábua de dupla entrada, árvore genealógica) que serão indispensáveis para a aquisição das mais elementares noções da matemática (tudo isto que os matemáticos supõem que as crianças possuem, intuitivamente, ou de forma apriorística) ...

(Continuará)